Znanstveno-stručni časopis
Hrvatskog društva za geometriju i grafiku

Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics



Blaženka Divjak (bdivjak@foi.hr)

Bilješke o taxicab geometriji

Taxicab geometrija jedna je od neeuklidskih geometrija. Tu je geometriju još prije 100 godina razmatrao Hermann Minkowski (Gesammelte Abhandlungen), a od tada doživljavala je periode marginalizacije i gotovo zaborava, ali i periode velikog zanimanja i široke primjene. Danas se može pronaći čitav spektar upotrebe i primjene taxicab geometrije. Za to postoji više razloga.
Prvo, taxicab geometrija bliska je euklidskoj geometriji i lagana za razumijevanje. Može se promatrati kao metrički sustav u kojem točke korespondiraju križanjima ulica u zamišljenom gradu gdje ulice idu samo horizontalno i vertikalno i nema jednosmjernih ulica (odatle i naziv taxicab geometrija). Kao takva pogodna je za izučavanje na dodiplomskom studiju u obliku eseja, seminarskih radova i diplomskih radova (kao što je opisano u [7] i [9]).
Drugo, taxicab geometrija zanimljiva je za izučavanje i sa stanovišta teorijske geometrije. Moguće ju je opisati upotrebom sintetičkog pristupa (koji je uveo David Hilbert), ali i metričkim pristupom (za koji je zaslužan George David Birkhoff). Oba ova pristupa pojašnjena su i upotrebljena za uvođenje taxicab geometrije u [6]. Postoji i treći pristup u geometriji preko apstraktne algebre i teorije grupa koji su uveli Felix Klein i Arthur Cayley koji tvrdi da se geometrija treba proučavati preko djelovanja grupe gibanja na zadani skup. Nadalje, dokazat ćemo neke poučke o elipsi u taxicab geometriji.
Treće, praktična je vrijednost taxicab geometrije njezina široka primjenjivost na stvarne (urbane) probleme transporta, planiranja gradova itd. O tim primjena govori se npr. u [10].

Ključne riječi: neeuklidska geometrija, taxicab geometrija
Radimir Viher (viher@grad.hr)

Posljedice Descatesove metode za faktorizaciju polinoma 4. stupnja

U članku je dan detaljan opis Dekartove metode za faktorizaciju polinoma četvrtog stupnja (nad poljem R koji je dan u sljedećem reduciranom obliku P4(x) = x4+a2x2+a1x+a0 = (x2+Ax+B)(x2+Cx+D). Nakon što je riješen sustav od četiri jednadžbe sa četiri nepoznanice, koji slijedi iz gornjeg identiteta, dobiva se sljedeća kubna rezolventa P3(t) = t3+2a2t2+(a22-4a0)t-a12, gdje je t = A2. Formulirana su i dokazana dva teorema. U prvom se otkriva korespondencija između tipova korijena od P3(t) i od P4(x) dok se u drugom daje karakterizacija tih tipova korijena od P3(t).

Ključne riječi: Dekartova metoda, faktorizacija, kubna rezolventa, tipovi korijena, karakterizacija tipova korijena, ravninske krivulje četvrtog reda


Zvonko Čerin (cerin@math.hr)

Trokuti iz Feuerbachovog trokuta

U članku dokazujemo četiri neobična teorema o Feuerbachovom trokutu AdBdCd zadanog trokuta ABC kome su vrhovi u točkama Ad, Bd, i Cd gdje pripisane kružnice dotiču izvana kružnicu devet točaka. Ti rezultati odnose se na problem određivanja trokuta XYZ za koje će segmenti AdX, BdY, i CdZ biti stranice trokuta. Pronađeno je pet trokuta XYZ uključujući i degenerirani trokut u točki D gdje upisana kružnica iznutra dodiruje kružnicu devet točaka pridruženih trokutu ABC takvih da segmenti AdX, BdY, i CdZ nikada nisu stranice bilo kakvog trokuta. Na pozitivnoj strani, otkrivena su tri trokuta XYZ takva da su segmenti AdX, BdY, i CdZ uvijek stranice nekog trokuta. Dokazi se provode čistom algebarskom metodom upotrebom analitičke geometrije ravnine. Također se pokazuje kako se ti i njima slični rezultati mogu otkriti pomoću računalnog programa Geometer's Sketchpad (Geometrova Crtanka).

Ključne riječi: trokut, upisana kružnica, pripisane kružnice, kružnica devet točaka, Feuerbachov trokut, centralne točke trokuta, Feuerbachova točka, Geometer's Sketchpad


Miljenko Lapaine (mlapaine@public.srce.hr)

Pramen konika zadan pomoću dviju dvostrukih točaka

Prikazan je algoritam za određivanje koeficijenata u jednadžbi pramena konika kad je pramen zadan s četiri točke od kojih su dvije dvostruke. Da bi se moglo raditi s neizmjerno dalekim točkama uvedene su homogene koordinate. Postupak je ilustriran s nekoliko primjera.

Ključne riječi: pramen konika, homogene koordinate, računalna grafika
Ivanka Babić (ibabic@juraj.gradnz.grad.hr)

Torus i neke njegove primjene u strojarstvu

U članku su istaknute neke karakteristike otvorene ili prstenaste torusne plohe, između ostalog i tri sistema kružnih presjeka. Torus tog oblika primjenjuje se u strojarstvu kod tvorbe strojnih dijelova. Neki strojni dijelovi nastaju presijecanjem složenih rotacijskih tijela ravninama, a neki tako da se koriste prodori dviju ili više rotacijskih ploha. Naveden je primjer oblikovanja tijela ojnice, te cijevnog odvojka koji se sastoji od valjkaste i torusne plohe koje su spojene po prodornoj krivulji. U članku se ukazuje na jednostavnost konstruiranja projekcija presječnih i prodornih krivulja u čijoj podlozi stoji geometrijska teorija.

Ključne riječi: apsolutna konika, cijevni odvojak, ojnice, otvoreni torus
Jelena Beban-Brkić i Ivan Medved (beban@geodet.geof.hr)

Opća teorija centralnih ploha 2. reda uz podršku softvera Mathematica

U radu je dan postupak za prepoznavanje grafova centralnih kvadrika zadanih jednadžbama u općem obliku kao i njihova klasifikacija. Napisan je program za računalo koji na osnovu početnih 10 koeficjenata opće jednadžbe plohe drugog reda izračunava svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrice sužene forme plohe, ispisuje kanonski oblik jednadžbe plohe te plohu klasificira i iscrtava, ukoliko je realna, u standardnom (kanonskom) kao i u općem položaju.

Ključne riječi: kvadrike, linearni operatori, svojstvene vrijednosti, svojstveni vektori, dijagonalizacija, kvadratna forma
Željko Gjuranić (gjuro@grad.hr)

Crtanje prodornih krivulja pomoću AutoCAD-a

U radu je dan analitički izvod na temelju kojega je izrađen program za crtanje prodornih krivulja kosih kružnih stožaca i valjaka u AutoCAD-u. Navedena je internet adresa na kojoj se taj program može podići, a dano je i uputstvo za njegovu upotrebu. Pomoću tog programa iscrtani su neki primjeri.

Ključne riječi: AutoCAD, prodorne krivulje
Ana Sliepčević (anasli@juraj.gradnz.grad.hr)

Jedna primjena perspektivne kolineacije

Cilj je ovog rada da, podsjećanjem na neke stare geometrijske konstrukcije izvedene pomoću perpektivne kolineacije i afiniteta, ponovno aktualizira crtež u geometriji, čija je izrada danas olakšana upotrebom računala. Zadaci se rješavaju metodom perspektivno kolinearno pridruženih figura, tj. svaki se problem u vezi s konikom perspektivnom kolineacijom preslika u elementarno rješiv zadatak u vezi s kružnicom, što rezultira geometrijski točnim rješenjem početnog problema.

Ključne riječi: konika, perspektivna kolineacija, perspektivna afinost
Sanja Filipan, Sonja Gorjanc i Hrvoje Kvasnička (sfilipan@grad.hr)

Natkrivanje paraboličkim konoidom

U radu je za jedan tip paraboličkog konoida 3. stupnja dan način konstrukcije te izvod jednadžbi u Kartezijevim koordinatama. U programu Mathematica definirane su funkcije za crtanje i izrađeni crteži konoida, grafovi funkcija Gaussove i srednje zakrivljenosti te primjeri moguće primjene konoida pri natkrivanju pravokutnoga tlocrta.

Ključne riječi: parabolički konoid, Mathematica
Ruža Ostrogonac-Šešerko, Marifa S. Toralba, Erol Inelmen, Lidija Pletenac i Sing-E Lee (rose@civil.uwa.edu.au)

Nastava vizualnog komuniciranja za svjetske inženjere

Uvođenje studenata u inženjersku profesiju počinje razvijanjem sposobnosti komunikacije, posebno grafičke. U ovom radu autori iz različitih dijelova svijeta uspoređuju svoju sadašnju praksu predavanja sadržaja inženjerske grafike (nacrtna geometrija, ručno tehničko crtanje, crtanje slobodnom rukom i računalna grafika te CAD-programi: Auto CAD...) i pokušavaju zacrtati put koji bi mogao slijediti nastavni plan u budućnosti. Oni predlažu što treba ostati kao princip vizualne komunikacije, a što treba mijenjati.

Ključne riječi: inženjerska grafika, računalna grafika, nastavni plan, budući inženjeri svijeta